渲染
多重重要性采样 MIS
- 2019-08-30
- 翟升富
Motivation：渲染中很多地方用到了采样，例如BSDF采样，[灯光采样]等。每种采样都可以使用重要性采样来降低方差，从而改善采样效果。但是这样还是会存在问题，每种采样适用的场合可能有限，很难做到通用。例如对BSDF进行采样的时候，遇到面积小的光源时，很难采样到光源上的点；而如果对于光源采样，对于光滑的平面，很难采样到反射方向的光辐射。归根结底，原因是因为采样的概率分布和原始信号的值分布不匹配，导致方差变大。所以很自然的想法就是同时进行BSDF采样和光源采样。这样带来的一个问题就是如何整合不同采样的结果？简单的平均并不会降低方差。MIS正是解决多种采样方法之间的匹配问题，最终生成方差低，稳定的综合采样结果。
过程阐述及公式推导
重要性采样（Importance Sampling）
对于积分
$$ \int f(x) dx $$
其对应的重要性采样是：
$$ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\frac{f(X_i)}{p(X_i)}$$
其中 \(p(X_i)\)应当与 \(f(X_i)\)接近，这样最终采样的方差才会小。直观理解就是当样本采样值大的时候，其对最终贡献也应该大，这个时候应该采样概率更大从而尽量多采样这样的点。这是重要性采样最核心的概念。
多采样模型（The Multi-sample Model）
考虑某个积分
$$ \int_\Omega f(x) d\mu (x) $$
假定 \(\Omega\) , \(f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\), \(\mu\)都给定，在\(\Omega\)中我们给定了\(n\)中不同的采样技术, 对应的概率密度函数是\(p_1, p_2, …, p_n\). 假定只知道下面的信息
- \(给定任意点x \in \Omega, f(x)和p_i(x)都可以得到\)
- \(对于任何p_i, 都可以产生一个样本X\)
为了估计积分, 不同的采样方法会生成多种样本. 用\(n_i\)表示\(p_i\)采样方法的样本数量, 用\(N=\sum n_i\)表示所有样本的总数目. 假定每种采样方法的采样数据都是固定的, 采样方法\(i\)得到的样本是\(X_{i, j}\), 其中\(j = 1, 2, …, n_i)\). 所有的样本假定是独立的.
多采样估计器(The multi-sample estimator)
现在我们看一下如何用\(X_{i, j}\)来估计积分. 我们将每种采样方法给一个权重\(\omega_1, \omega_2, …, \omega_n\), 其中\(\omega_i(x)\)对于利用\(p_i)采样技术得到的每个样本x都会给一个权重. 多采样估计器的公式是:
$$F = \sum_{i=1}^N \frac{1}{n_i} \sum_{j=1}^{n_i} \omega_i(X_{i, j}) \frac{f(X_{i, j})}{p_i(X_{i, j})}$$
要想使得该估计器是无偏的, 权重函数\(\omega_i\)必须满足下面条件:
\(当f(x)\ne 0 , \sum_{i=1}^n \omega_i(x) = 1 \tag{W1}\)
\(当p_i(x) = 0, \omega_i(x) = 0 \tag{W2}\)
从上面的式子我们可以有一些直观的理解. 例如W1式子我们可以知道当\(f(x) \ne 0\)时, 必定有至少一个\(\omega_i\)为正数, 因此必定有至少一个\(p_i\)为正数. 也就是说, 必定至少一个采样方法会在\(x\)处采样. 另外我们可以看出来, 没有必要每种采样技术采样所有的\(\Omega\). 某些采样方法\(p_i\)可以专注于积分的特定区域.
当上面两个条件满足的时候, \(F\)就是无偏的, 因为此时\(F\)的期望就是\(f(x)\)的积分:
$$E[F]= \int_\Omega f(x) d \mu(x)$$
证明过程如下:
$$
\begin{aligned}
E[F]= \sum_{i=1}^n \frac{1}{n_i} \sum_{j=1}^{n_i} \int_\Omega \frac{\omega_i(x)f(x)}{p_i(x)} p_i(x) d \mu(x)
\\ = \int_\Omega \sum_{i=1}^n \frac{1}{n_i} \sum_{j=1}^{n_i} \omega_i(x)f(x) \mu(x)
\\ = \int_\Omega \sum_{i=1}^n \omega_i(x)f(x) d \mu(x)
\\ = \int \Omega f(x) d\mu(x)
\end{aligned}
$$
接下来我们将看一些例子来加深理解.
权重函数的一些例子
假定有三种采样技术\( p_1, p_2, p_3\), 并且每种方法都采样一个样本\(X_{i, 1}\). 首先, 考虑权重函数在整个\(\Omega\)都是常数. 这样最终的估计器是
$$F = \omega_1 \frac{f(X_{1, 1})}{p_1(X_{1, 1})} + \omega_2 \frac{f(X_{2, 1})}{p_1(X_{2, 1})} + \omega_3 \frac{f(X_{3, 1})}{p_1(X_{3, 1})}$$
其中\(\omega_i\)加起来和为1. 这实际上就是每个采样技术的加权组合. 不幸的是这种组合策略效果并不好. 如果任何给定的采样技术方差很大, 那么最终的F方差也会很大, 因为
$$V[F] = \omega_1V[F_1] + \omega_2V[F_2] +\omega_3V[F_3]$$
另外一个可能的组合策略是将\(\Omega\)在采样技术上进行分割, 即
$$\int f(x)d\mu(x) = \sum_{i=1}^n \int_{\Omega_i} f(x) d \mu(x)$$
在每个\(\Omega_i\), 分别采用不同的采样技术\(p_i\). 对应的权重函数是:
$$
\omega_i=\begin{cases}
1, & \text{如果$ i \in \Omega_i $} \\
0, & \text{其他情况}
\end{cases}
$$
这种方法在计算机图形学中广泛使用, 但是如果分割方法不好的话, 组合效果会比较差. 例如我们经常将场景分成光源区域和非光源区域, 每种区域采用不同的采样方法. 由于场景的几何体和材质的不同, 固定的分布会导致更高的方差.